Questão 64

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

A análise dos dados financeiros mensais de uma indústria de bens duráveis indicou que:

SITUAÇÃO 1: Os impostos e taxas a pagar na produção dos bens dessa indústria podem ser modelados, em reais (R$), em função da quantidade de matéria prima necessária para a produção, em toneladas (ton), por uma linha reta.

SITUAÇÃO 2: Os impostos e taxas a pagar pela venda dos bens dessa indústria podem ser modelados, em reais (R$), em função da quantidade de matéria prima usada na produção, em toneladas (ton), por uma linha parabólica.

O desenho a seguir indica a análise dos dados para o mês de maio de 2022 no qual se vê que há dois pontos de igualdade entre as duas situações: um para a produção e venda de 10 ton com pagamento de R$ 16800,00 em impostos e taxas e o outro na produção e venda de 110 ton, maior quantidade que a indústria tem a capacidade de produzir por mês.

O valor máximo em impostos e taxas pagos na situação 2 é um número, em reais, do intervalo

A

[30000, 34000 [

B

[34000, 38000 [

C

[38000, 42000 [

D

[42000, 46000 [

Gabarito:

[38000, 42000 [

Resolução:

Para encontrar o valor máximo ou minimo de uma parabola, basta conhecer sua equação na forma $ax^2 + bx +c$ .

Portanto, nosso objetivo será definir os parametros $a,b$ e $c$ a partir dos dados da questão.

A questão nos fornece dois pontos no inicio do problema, um para $x = 0$ , obtido pelo gráfico, e outro para $x = 10$ , fornecido no texto.

Contudo, para definir os três paramentros da parabola, precisamos de ao menos três equações, logo precisamos descobrir o valor de $y$ para $x=110$ .

Para isso, devemos utilizar o fato de que a situação $1$ defini uma reta, logo:

$frac{y_{10}-y_0}{10-0} = frac{y_{110}-y_{10}}{110-10}$

$frac{16800-15600}{10} = frac{y_{110}-16800}{100}$

$1200cdot10= y_{110}-16800$

$y_{110} = 28800$

Substituindo cada um desses pontos na equação geral, temos:

$left{egin{matrix} acdot 0^2 + bcdot 0 + c = 9000 \ a cdot 10^2 + bcdot 10 + c = 16800\ a cdot 110^2 + bcdot 110 + c = 28800 end{matrix} ight.$

Direto da eq, 1, temos que $c= 9000$ .

Realizando $eq.2 - eq.1$ e $eq.3 - eq.2$ , chegamos que:

$left{egin{matrix} a cdot 100 + bcdot 10 + = 7800\ a cdot (110^2-10^2) + bcdot (110-10) = 12000 end{matrix} ight.$

Dividindo a segunda equação por $100$ , temos:

$left{egin{matrix} a cdot 100 + bcdot 10 + = 7800\ a cdot 120 + b = 120end{matrix} ight.$

Multplicando a segunda equação por $10$ e substraindo a 1° dela, temos:

$1100a = -6600 ightarrow a = -6$

Substituindo na segunda equação do sistema anterior, temos que $b = 840$

Com isso definimos que a equação da parabola é $f(x) = -6x^2 + 840x +9000$ .

Para descobrir o valor máximo atingido pela função basta usar a relação conhecida de que:

$f_{max} = frac{b^2-4ac}{-4a} = frac{840^2 + 6cdot9000}{6*cdot4}$

$f_{max} = frac{921600}{24}$

$f_{max} = 38400$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA C.

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