Questão 69776

CEFET-MG 2019

Matemática

(CFTMG 2019) Seja o número real $k$ , tal que $k=frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}+frac{1}{sqrt{2}-sqrt{3}}$ . Sobre o valor de $k$ é correto afirmar que

Nota:

$mathbb{Z}$ = conjunto dos números inteiros

$mathbb{R}$ = conjunto dos números reais

$mathbb{Q}$ = conjunto dos números racionais

$mathbb{I}$ = conjunto dos números irracionais

$kinmathbb{Z}$ tal que $k>0$ .

$kinmathbb{R}$ tal que $k<-2.$

$kinmathbb{Q}$ tal que $k < 2.$

$k in mathbb{I}$ tal que $k > 2.$

Gabarito:

$kinmathbb{R}$ tal que $k<-2.$

Resolução:

$k=frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}+frac{1}{sqrt{2}-sqrt{3}}$

Podemos racionalizar os denominadores para ajudar a enxergar o número:

$k=frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}cdot (sqrt{2}-sqrt{3})+frac{1}{sqrt{2}-sqrt{3}} cdot (sqrt{2} + sqrt{3})$

$k=frac{sqrt{2}-sqrt{3}}{2 - 3} + frac{sqrt{2}+sqrt{3}}{2-3}$

$k=frac{sqrt{2}-sqrt{3}}{-1} + frac{sqrt{2}+sqrt{3}}{-1}$

$k=frac{sqrt{2}-sqrt{3}+ sqrt{2}+sqrt{3}}{-1}$

$k=frac{2sqrt{2}}{-1}$

$k=-2sqrt{2}$

Podemos ver que K é um número negativo e irracional, ou seja, existe apenas nos irracionais e reais, como $sqrt{2}$ é aproximadamente 1,4: k < -2.

Alternativa B.

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