Questão 65689

CMMG 2021

Matemática

O ponto C pertence à reta , da figura a seguir, de tal forma que a razão r é igual a 2.

As coordenadas do ponto C são

A

(-11, -6).

B

(-1, 0).

C

(0, -1).

D

(1/3, 2/3).

E

(2/3, 1/3).

Gabarito:

(1/3, 2/3).

Resolução:

Primeira forma de resolução:

A	Incorreto. Considera que a razão r é dada por $frac {overline{AC}}{overline {CB}} =2 ightarrow left{egin{matrix} frac {x_C+x_A}{x_B+x_C} = 2\ \ frac {y_C + y_A}{y_B + y_C} = 2 end{matrix} ight.$ . Assim, temos: $left{egin{matrix} frac {x_C+x_A}{x_B+x_C} = 2 ightarrow frac {x_C + (-5)}{3+x_C} = 2 ightarrow x_C - 5 = 6+2_{x_c} ightarrow x_c = -11 \ \ frac {y_C + y_A}{y_B + y_C} = 2 ightarrow frac {y_C + (-2)}{2 +x_C} = 2 ightarrow y_C - 2 = 4 +2_{y_C} ightarrow y_C = -6 end{matrix} ight.$ Assim, as coordenadas do ponto C são (-11, -6).
B	Incorreto. Considera que o ponto C é o ponto médio do segmento $overline{AB}$ . Assim, temos $left{egin{matrix} x_C = frac {x_A+x_B}{2} ightarrow x_C = frac {-5+3}{2} = x_C = -1 \ \ y_C = frac {y_A+y_B}{2} ightarrow y_C = frac {-2+2}{2} = y_C = 0 end{matrix} ight.$ . Assim, as coordenadas do ponto C são (-1, 0).
C	Incorreto. Considera que o ponto C é o ponto médio do segmento e troca as coordenadas dos pontos A e B. Assim, temos $left{egin{matrix} x_C = frac {x_A+x_B}{2} ightarrow x_C = frac {-2+2}{2} = x_C = 0 \ \ y_C = frac {y_A+y_B}{2} ightarrow y_C = frac {-5+2}{2} = y_C = -1 end{matrix} ight.$ . Assim, as coordenadas do ponto C são (0, -1).
D	Correto. A razão r é dada por $frac {overline{AC}}{overline {CB}} =2 ightarrow left{egin{matrix} frac {x_C-x_A}{x_B-x_C} = 2\ \ frac {y_C - y_A}{y_B - y_C} = 2 end{matrix} ight.$ . Assim, temos: $left{egin{matrix} frac {x_C-x_A}{x_B - x_C} = 2 ightarrow frac {x_C - (-5)}{3-x_C} = 2 ightarrow x_C + 5 = 6-2x_C ightarrow 3x_C= 1 ightarrow x_C = frac 13 \ \ frac {y_C-y_A}{y_B - y_C} = 2 ightarrow frac {y_C - (-2)}{2-x_C} = 2 ightarrow y_C + 2 = 4-2y_C ightarrow 3y_C= 2 ightarrow y_C = frac 23 end{matrix} ight.$ Assim, as coordenadas do ponto C são (1/3, 2/3).
E	Incorreto. Troca as coordenadas dos pontos A e B. A razão r é dada por $frac {overline{AC}}{overline {CB}} =2 ightarrow left{egin{matrix} frac {x_C-x_A}{x_B-x_C} = 2\ \ frac {y_C - y_A}{y_B - y_C} = 2 end{matrix} ight.$ . Assim, temos: $left{egin{matrix} frac {x_C-x_A}{x_B - x_C} = 2 ightarrow frac {x_C - (-2)}{3-x_C} = 2 ightarrow x_C + 2 = 4 -2x_C ightarrow 3x_C= 2 ightarrow x_C = frac 23 \ \ frac {y_C-y_A}{y_B - y_C} = 2 ightarrow frac {y_C - (-5)}{2-x_C} = 2 ightarrow y_C + 5 = 4-2y_C ightarrow 3y_C= 1 ightarrow y_C = frac 13 end{matrix} ight.$ Assim, as coordenadas do ponto C são (2/3, 1/3).

Segunda forma de resolução:

Veja a figura:

Note que é possível trabalharmos com semelhança de triângulos aqui.

Se $ACequiv 2CB$ , então $DEequiv 2EB$ e $AFequiv 2FD$ .

Assim, podemos fazer as duas contas:

$(Y_E-Y_D)= 2(Y_B-Y_E)$

$(X_F-X_A)= 2(X_D-X_F)$

$left{egin{matrix} Y_C-Y_A=2(Y_B-Y_C)\ X_C-X_A=2(X_B-X_C) end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} Y_C=frac{2Y_B+Y_A}{3}\ X_C=frac{2X_B+X_A}{3} end{matrix} ight.$

$X_C=frac{2cdot 3-5}{3}=frac{1}{3}$

$Y_C=frac{2cdot 2-2}{3}=frac{2}{3}$

$Cequiv (frac{1}{3},frac{2}{3})$

Alternativa correta é a Letra D.

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