Questão 10

EFOMM 2010

Matemática

Sabendo que o log₃₀ 3 = a e log₃₀ 5 = b, que opção representa log₁₀ 2 ?

$frac{1-a-b}{2+a}$

$frac{1-a-b}{a-1}$

$frac{1-a-b}{1+a}$

$frac{1-a-b}{2-a}$

$frac{1-a-b}{1-a}$

Gabarito:

$frac{1-a-b}{1-a}$

Resolução:

Para resolver essa questão devemos saber os conceitos:

Mudança de base: $log_b (a) = frac{log_{c}a}{log_{c}b}$

Propriedades operatórias dos logaritmos:

$log_b(A cdot B)=log_bA+log_bB$

$log_b (frac{A}{B}) = log_b A - log_b B$

Resolvendo:

$\ log_{10} (2) = frac{log_{30} (2)}{log_{30} (10)} = frac{log_{30} (frac{30}{15})}{log_{30} (frac{30}{3})} = frac{log_{30} 30 - log_{30} 15}{log_{30} 30 - log_{30} 3} = \ \ frac{1 - log_{30} (3 cdot 5)}{1 - a} = frac{1 - log_{30} (3)- log_{30} (5)}{1 - a} = oxed{ frac{1 -a- b}{1 - a} }$

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