Questão 6814

EFOMM 2017

Matemática

(EFOMM - 2017) Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação

P^-1.A = , sendo .

Gabarito:

Resolução:

$P^{-1}cdot A=egin{bmatrix} 5 &0 \ 0& -2 end{bmatrix}$

Aplicando Determinante:

$det (P^{-1}A)=egin{vmatrix} 5 &0 \ 0& -2 end{vmatrix}$

Teorema de Binet:

$det (P^{-1})cdot det A=-10$

Mas o determinante de A = 9

$\frac{det A}{det P}=-10;;;;;;Rightarrow frac{9}{det P}=-10\\\ herefore det P=frac{-9}{10}$

Com isso, podemos eliminar as alternativas (a) e (d), pois os denominadores são múltiplos de 3. Eliminamos letra (b), pois seu determinante é nulo. E, por fim, a letra (c) possui determinante igual à -36/10.

A alternativa (e) é a correta, portanto.

2ª Resolução (tradicional):

Resolução 3:

Considerando $P^{-1} = egin{pmatrix} a &b \ c &d end{pmatrix}$ :

Assim,

$egin{pmatrix} a &b \ c &d end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} 1 & -2\3 &3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 5 &0 \ 0 & -2 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}a+3b&-2a+3b\ c+3d&-2c+3dend{pmatrix}=egin{pmatrix}5&0\ 0&-2end{pmatrix}$

Com isso,

$left{egin{matrix} a+3b = 5\ -2a+3b = 0 \ c+3d = 0 \ -2c+3d = -2 end{matrix} ight.$

Resolvendo esse sistema simples, encontramos que

$a=frac{5}{3},:c=frac{2}{3},:b=frac{10}{9},:d=-frac{2}{9}$

Assim,

$P^{-1} = egin{pmatrix} frac{5}{3} &frac{10}{9} \ frac{2}{3} &-frac{2}{9} end{pmatrix}$

Encontrar a inversa de uma matriz de 2x2 de acordo com a fórmula $egin{pmatrix}a:&:b:\ c:&:d:end{pmatrix}^{-1}=frac{1}{det egin{pmatrix}a:&:b:\ c:&:d:end{pmatrix}}egin{pmatrix}d:&:-b:\ -c:&:a:end{pmatrix}$ :

$P = frac{1}{det egin{pmatrix}frac{5}{3}&frac{10}{9}\ frac{2}{3}&-frac{2}{9}end{pmatrix}}egin{pmatrix}-frac{2}{9}&-frac{10}{9}\ -frac{2}{3}&frac{5}{3}end{pmatrix}$

$P =egin{pmatrix}frac{1}{5}&1\ frac{3}{5}&-frac{3}{2}end{pmatrix}$

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