Questão 7146

EFOMM 2017

Matemática

(Efomm 2017) Calcule o determinante da matriz A de ordem n:

$A=egin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &cdots & 1\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 &cdots & 1\ 1 & 1 & 5 & 1 & 1 &cdots & 1\ 1 & 1 & 1 & 7 & 1 &cdots & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 9 &cdots & 1\ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &dots & 2n-1 end{pmatrix}$

$large det A=prod_{k=1}^{n-1}2k$

$largelarge det A=prod_{k=1}^{n-1}(2k-1)$

$largelarge det A=prod_{k=1}^{n-1}2^k$

$largelarge det A=prod_{k=1}^{n-1}2^{k-1}$

Gabarito:

$large det A=prod_{k=1}^{n-1}2k$

Resolução:

$egin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & ... &1 \ 1& 3 & 1 &1 &.. .&1 \ 1 & 1 & 5 & 1 & ... & 1\ 1&1 &1 & 7 & ...&1 \ ... & ... &... &.. . & ... &... \ 1 & 1 &1 & 1&1 & 2n-1 end{vmatrix}=egin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 &... &1 \ 0& 2 & 0 &0 &...&0 \ 0& 0 & 4 &0 & ... & 0\ 0& 0 & 0 &6 &... &0 \ ...& ... & ... & ... & ... & ...\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 2n-2 end{vmatrix}$

Temos uma matriz triangular, então, seu determinante pode ser calculado multiplicando-se os elementos da diagonal principal:

$large \ extrm{det A}=1cdot 2cdot 4cdot 6cdot ...cdot (2n-2)\ extrm{det A}=1cdot 2cdot 4cdot 6cdot ...cdot 2(n-1)\\ extrm{det A}=prod_{k=1}^{n-1}2k$

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