Questão 6671

ESCOLA NAVAL 2011

Matemática

(G1 - col.naval 2011) No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da equação ?

R - (-1;1).

R - [-1,-1].

R - {-1;+1}.

R - [-1,-1).

Gabarito:

R - {-1;+1}.

Resolução:

1) Pelo enunciado, temos que:

$\frac{sqrt{3}}{x^2-1}=frac{sqrt{3}}{2x-2}-frac{sqrt{3}}{2x+2}$

2) Fazendo fatoração por agrupamento nos denominadores:

$\\\frac{sqrt{3}}{x^2-1}=frac{sqrt{3}}{2(x-1)}-frac{sqrt{3}}{2(x+1)}$

3) Como $frac{sqrt{3}}{2}$ é comum para ambas as frações do lado direito da equação, podemos fazer mais uma fatoração por agrupamento:

$\\\frac{sqrt{3}}{x^2-1}=frac{sqrt{3}}{2}cdot [frac{1}{(x-1)}-frac{1}{(x+1)}]$

3) Lembre-se que para somar ou subtrair frações temos que ter denominadores iguais, logo encontrando as frações equivalentes que permitem isso:

$\\\frac{1}{x^2-1}=frac{1}{2}cdot [frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}-frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}]$

4) Fazendo a subtração das frações:

$\\\frac{1}{x^2-1}=frac{1}{2}cdot [frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}]$

5) Desenvolvendo:

$\frac{1}{x^2-1}=frac{1}{2}cdot [frac{x+1-x+1}{x^2-1}]$

$\\\\1=frac{1}{2}cdot [2]\\1=1$

6) Caímos numa identidade (1 = 1), então a equação é válida para todos os reais exceto aqueles que tornam o denominador nulo (Lembre-se que em uma fração nunca podemos ter denominadores nulos):

$\x^2-1 eq 0\\(x-1)(x+1) eq 0\\ herefore x eq pm 1$

$\ 2x+2 eq0 \ 2x eq -2 \ herefore x eq -1$

$\ 2x-2 eq0 \ 2x eq 2 \ herefore x eq 1$

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