Questão 5318
(Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra uma mola ideal de constante elástica k = 200 N/m, inicialmente em repouso, sustentando uma esfera de massa M = 2,00 kg na posição A. Em seguida, a esfera é deslocada 15,0 cm para baixo até a posição B, onde, no instante t0, é liberada do repouso, passando a oscilar livremente. Desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar que, no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2π/30 s, o deslocamento da esfera, em cm, é de:
9,00
15,0
22,5
Gabarito:
22,5
Resolução:
Adotemos:
o positivo para baixo;
Deformação da mola em um instante qualquer: (x+a), onde a é a deformação no equilíbrio. Logo mg=ka, a=(mg)/k ;
"a" será o ponto em torno do qual a mola oscilará, logo será a origem da nossa oscilação.
Por outro lado, genericamente, a força resultante pode ser representada por mg- k(x+a) (note que como adotamos o sentido para baixo como positivo, a gravidade será positiva);
Assim, para um instante qualquer: mg- k(x+a)=mA, onde A é aceleração.
usando a 2° linha; mg=ka, logo :
Ka-k(x+a)=mA
-Kx=mA; o qual nos mostra que temos uma aceleração variando linearmente com a posição, caracterizando um MHS. Daí, podemos usar: A=-w2x
Daí teremos:
-Kx=-mw2x
K=mw2
w2=K/m=200/2=100; w=10rad/s
Além disso, sabemos que como o corpo desceu 15cm além da posição de equilíbrio, teremos amplitude=15cm.
Por outro lado, temos do MHS:
posição(t)=Amplitude*Cos(wt)=15cos(10t);
Assim, concluindo:
posição(0)=15cm
posição(2π/30)=15*cos(10*(2π)/30)=15cos(2π/3)=-7,5cm
Note que como ainda estamos na primeira oscilação, |x|=|posiçãoInicial-PosiçãoFinal|=|-7,5-15|=|-22,5|=22,5cm