Questão 6

ESPCEX 2009

Matemática

(EsPCEx - 2009)

O valor de x na equação exponencial 7^2x^-1 - 7^x - 7^x-1= 0 é

$frac{2log2}{log7}$

$frac{3log3}{log7}$

$frac{2log3}{log7}$

$frac{3log2}{log7}$

$frac{3log8}{log7}$

Gabarito:

$frac{3log2}{log7}$

Resolução:

Reescrevendo a expressão:

$7^{2x-1}-7^x-7^{x-1} = 0$

$7^{2x}cdot 7^{-1}-7^x-7^{x} cdot 7^{-1} = 0$

$(7^{x})^2cdot 7^{-1}-7^x-7^{x} cdot 7^{-1} = 0$

Fazendo $y = 7^x$ :

$(7^{x})^2cdot 7^{-1}-7^x-7^{x} cdot 7^{-1} = 0$

$(7^x)^2-7^xcdot 7-7^{x} = 0$

$y^2-7y-y = 0$

$y^2-8y= 0$

$y(y-8)= 0$

$Rightarrow y=0 ext{ ou } y=8$

Logo:

$y=0 Rightarrow 7^x = 0 Rightarrow$ Não tem solução

$y=8 Rightarrow 7^x = 8 Rightarrow log{(7^x)} = log{(8)} Rightarrow xlog{(7)} = log{(8)} Rightarrow x = frac{log{(8)}}{log{(7)}}$

$Rightarrow x = frac{3log{(2)}}{log{(7)}}$

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