Questão 10

ESPCEX 2009

Matemática

(EsPCEx - 2009)

As funções y = sen x e y = cos x estão representadas no gráfico abaixo. Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é:

$frac{pi}{8}.left ( 2-sqrt{2} ight )$

$frac{pi}{8}$

$frac{pi}{16}.left ( 2- sqrt{2} ight )$

$frac{pisqrt{2}}{16}$

$frac{pi}{16}.left ( 1-sqrt{2} ight )$

Gabarito:

$frac{pi}{16}.left ( 2- sqrt{2} ight )$

Resolução:

Encontrando a intersseção:

$sin{(x)}=cos{(x)}$

$sin{(x)}=sin{(frac{pi}{2}-x)}$

$x=frac{pi}{2}-x$

$2x=frac{pi}{2}$

$x=frac{pi}{4} = x_c$

Portanto: $overline{AC} = frac{pi}{4}$

Agora:

$y_A = cos{(frac{pi}{4})}$

$y_A = frac{sqrt{2}}{2}$

$y_B = cos{(0)}$

$y_B = 1$

Encontrando $overline{AB}$ :

$overline{AB} = y_B - y_A$

$overline{AB} = 1 - frac{sqrt{2}}{2}$

Encontrando a área:

$A = frac{1}{2}cdot (1-frac{sqrt{2}}{2}) cdot frac{pi}{4}$

$A =(1-frac{sqrt{2}}{2}) cdot frac{pi}{8}$

$A =(2-sqrt{2}) cdot frac{pi}{16}$

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