Questão 1

ESPCEX 2010

Matemática

(EsPCEx - 2010) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real

Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso.

Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é

A

40.

B

41.

C

53.

D

56.

E

60.

Gabarito:

56.

Resolução:

N(t) ≥ 12

Se 0 ≤ t < 20:

$\frac{t}{5}+8geq 12\\frac{t}{5}-4geq 0;;;; herefore tgeq 20$

Não convém pois t ≥ 20 não está no intervalo considerado (em negrito e sublinhado)

Se 20 ≤ t < 50:

$\frac{-t^2}{100}+frac{4t}{5}geq 12\\\frac{-t^2}{100}+frac{4t}{5}-12geq0\\-t^2+80t-1200geq0$

Podemos encontrar as raizes desta inequação para fatorá-la e descobrir o intervalo de validade:

$Delta = 80^2 - 4 cdot (-1) cdot (-1200) =1600$

$sqrt{Delta}= sqrt{1600}=40$

$t_1 = frac{-80+40}{-2}= frac{-40}{-2}=20$

$t_2 = frac{-80-40}{-2}= frac{-120}{-2}=60$

Assim, podemos analisar a inequação:

$-t^2 +80t - 1200 geq 0 Rightarrow -(t-20)cdot(t-60)geq 0$

E ver que o intervalo de validade é $20 leq tleq 60$

Porém é dado no enunciado $20 leq t < 50$

Ou seja, temos apenas 30 dias disponíveis.

Se 50 ≤ t ≤ 100:

$\frac{-3t}{25}+21geq 12\\\frac{-3t}{25}geq-9\\-3tgeq-225\\tleq 75$

Mas, no intervalo considerado 50 ≤ t ≤ 100

.:. 50 ≤ t ≤ 75

Temos 26 dias

30 + 26 = 56 dias

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