Questão 22

ESPCEX 2011

Matemática

(EsPCEx - 2011)

A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, T1 e T2, ambos com altura h, e cujos raios das bases medem R e , respectivamente. Esses tanques são usados para armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é tal que seu nível corresponde a 2/3 da altura.

O tanque T₁ contém gasolina pura e o tanque T₂ contém uma mistura etanol-gasolina, com 25% de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T₁ para T₂ até que o teor de etanol na mistura em T₂ caia para 20%. Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de T₁ e T₂ será

h/2

h/3

h/4

h/5

h/6

Gabarito:

h/2

Resolução:

$\ extrm{Inicialmente no tanque T2 o volume de líquido é igual à:}\\pi(sqrt{2}R)^2frac{2h}{3}=frac{4pi R^2h}{3};; extrm{o volume de gasolina e o volume de alcool:}\\\frac{3}{4}cdot frac{4pi R^2h}{3} = pi R^2h ;;;; extrm{gasolina }\\\frac{pi R^2h}{3};;;;; extrm{álcool}$

$\ extrm{Agora, queremos que o volume de álcool corresponda à 20 por cento do total.}\ extrm{Então o volume de gasolina corresponderá a 80 por cento da mistura:}\\V_{gasolina}=frac{80}{20}cdot frac{pi R^2h}{3}=frac{4pi R^2h}{3}$

$\ extrm{O volume de gasolina que foi inserido é igual à:}frac{4pi R^2h}{3}-pi R^2h=frac{pi R^2h}{3}$

$\ extrm{O volume de gasolina que foi inserido é igual à:}frac{4pi R^2h}{3}-pi R^2h=frac{pi R^2h}{3}\ ightarrow ; extrm{esse é o volume que foi retirado do tanque T1}$

$\ extrm{Para o tanque T1, o novo volume é dado por:}\\frac{2pi R^2h}{3}-frac{pi R^2h}{3}=frac{pi R^2h}{3}\\ extrm{A altura é igual à;}frac{h}{3}$

$extrm{Para o tanque T2, o novo volume é dado por:}frac{4pi R^2h}{3}+frac{pi R^2h}{3}=frac{5pi R^2h}{3} extrm{A altura é igual à}frac{5h}{6}$

$Delta h=frac{5h}{6}-frac{h}{3}=frac{h}{2}$

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