Questão 6

ESPCEX 2011

Matemática

(EsPCEx - 2011)

O Conjunto solução do sistema $left{egin{matrix} 3^xcdot 27^y=9 \ y^3+frac{2}{3}xy^2=0 end{matrix} ight.$ é formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é

Ambos no primeiro quadrante.

Um no quarto quadrante e o outro no eixo X.

Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante.

Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y.

Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.

Gabarito:

Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.

Resolução:

Temos então o sistema:

(I): $3^xcdot 27^x = 9$

(II): $y^3 + frac{2}{3}xy^2=0$

Reesccrevendo (I):

$3^xcdot 3^{3y} = 3^2$

$3^{x+3y}= 3^2$

$x+3y= 2$

Reesccrevendo (II):

$y^3 + frac{2}{3}xy^2 = 0$

$y^2(y+frac{2}{3}x) = 0$

Por (II) temos:

$y=0 ext{ ou } y = -frac{2}{3}$

Logo:

$y=0 Rightarrow x=2$

$y = -frac{2x}{3} Rightarrow x+3(-frac{2x}{3}) = 2 Rightarrow x=-2$

Então temos $(2,0)$ e $(-2,frac{4}{3})$ , portanto, letra E.

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