Questão 13

ESPCEX 2011

Matemática

(EsPCEx - 2011)

Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em C, em que BÂC=30°. Nesse triângulo está representada uma sequência de segmentos cujas medidas estão indicadas por L₁ , L₂ , L₃ , ....., L_n , em que cada segmento é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A. O valor $frac{L_9}{L_1}$ é

$frac{27sqrt{3}}{128}$

$frac{1}{128}$

$frac{81}{256}$

$frac{27}{64}$

$frac{1}{256}$

Gabarito:

$frac{81}{256}$

Resolução:

$cos 30^{circ} = frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{sqrt{3}}{2} = frac{L_{2}}{L_{1}}$

$L_{2} = frac{sqrt{3} L_{1}}{2}$

O L₂passa a ser hipotenusa do triângulo que contém o L₃, assim como o L₃passa a ser a hipotenusa do triângulo que contém o L₄e assim por diante. Portanto:

$L_{3} = frac{sqrt{3} L_{2}}{2}$

$L_{4} = frac{sqrt{3} L_{3}}{2}$

$L_{5} = frac{sqrt{3} L_{4}}{2}$

E assim por diante...

Portanto, teremos uma progressão geométrica de razão $frac{sqrt{3}}{2}$ onde o primeiro termo vale L₁. Vamos descobrir L9 :

$L_{9} = L_{1} cdot (frac{sqrt{3}}{2})^{8}$

$L_{9} = frac{L_{1} cdot 3^{4}}{2^{8}} = L_{1} cdot frac{81}{256}$

Assim, concluímos que:

$frac{L_{9}}{L_{1}} = frac{81}{256}$

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