Questão 2

ESPCEX 2011

Matemática

(EsPCEx - 2011)

Seja o número complexo , com x e y reais e i² = -1.

Se x² + y² = 20, então o módulo de z é igual a:

Gabarito:

Resolução:

1) Primeiramente, temos que:

$z=frac{left(x+yi ight)left(3-4i ight)}{left(3+4i ight)left(3-4i ight)}$

$z=frac{3x+4y+ileft(-4x+3y ight)}{25}$

$z=frac{3x+4y}{25}+ifrac{3y-4x}{25}$

2) Logo, o módulo de z é:

$|z|=sqrt{(frac{3x+4y}{25})^2+(frac{3y-4x}{25})^2}$

$|z|=sqrt{frac{left(3x+4y ight)^2}{25^2}+frac{left(3y-4x ight)^2}{25^2}}$

$|z|=sqrt{frac{left(3x+4y ight)^2+left(3y-4x ight)^2}{25^2}}$

$|z|=sqrt{frac{x^2+y^2}{25}}$

$|z|=frac{sqrt{x^2+y^2}}{5}$

3) Como x² + y² = 20

$|z|=frac{sqrt{20}}{5}$

$oxed{|z|=frac{2sqrt{5}}{5}}$

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