Questão 30

ESPCEX 2011

Matemática

(EsPCEx - 2011)

Seja a função complexa P(x) = 2x³ – 9x² + 14x – 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, o intervalo I de números reais que faz P(x) < 0, para todo x ∈ I é

Gabarito:

Resolução:

Como $2+i$ é raiz, então $2-i$ também. Encontrando $x_3$ pela~relação de Girard:

$(2+i)(2-i)x_3 = -frac{-5}{2}$

$(2+i)(2-i)x_3 = frac{5}{2}$

$(4+1)x_3 = frac{5}{2}$

$5x_3 = frac{5}{2}$

$x_3 = frac{1}{2}$

Encontrando o intervalo:

$2[x-(2+i)]cdot [x-(2-i)]cdot (x-frac{1}{2}) < 0$

$2[(x-2)-i]cdot [(x-2)+i]cdot (x-frac{1}{2}) < 0$

$2 [(x-2)^2-i^2] cdot (x-frac{1}{2}) < 0$

$2 [(x-2)^2+1] cdot (x-frac{1}{2}) < 0$

Então:

$x-frac{1}{2} < 0$

$x<frac{1}{2}$

Logo, letra A

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