(ExPCEx - 2012)
QUESTÃO ANULADA!!
Um polinômio q(x), do 2º grau, é definido por q(x)=ax2+bx+c, com a, b e c reais, a 0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade q(x)=q(1-x), para todo x real, é
a) q(x)=a(x2 + x) + c
b) q(x)=a(x2 – x) + c
c) q(x)=a2(x2 – x) + c
d) q(x)=a2(x2 + x) + c
e) q(x)=a2 x + c
QUESTÃO ANULADA!!
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Gabarito:
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Devemos ter q(x) tal que:
q(x) = q(1 - x), para todo x real, isto é, devemos ter q(x) idêntico à q(1-x).
Sendo então q(x) = ax² + bx + c, tem-se que:
ax² + bx + c = a*(1-x)² + b*(1-x) + c, então
ax² + bx + c = a - 2ax + ax² + b - bx + c, então
ax² + bx + c = ax² + x*(-2a - b) + a + b + c
Igualando os coeficientes correspondentes, temos que:
b = -2a - b, então b = -a
ou
a + b + c = c, de onde tiramos também que b = -a
Logo, q(x) é dado por:
q(x) = ax² + bx + c = ax² - ax + c = a(x² - x) + c, com a e c reais.