Questão 2

ESPCEX 2012

Matemática

(EsPCEx - 2012)

Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

Vista lateral do problema:

Vemos que $Delta ABC sim Delta ABC$ , assim o cone maior é semelhante ao cone de água. Portanto, podemos equacionar:

$frac{v_{acute{a}gua}}{v_{cone}} = (frac{h_{agua}}{h_{cone}})^{3} = (frac{frac{h}{2}}{h})^{3}$

$v_{agua} = frac{1}{8} cdot v_{conte}$

Desse modo, o volume de óleo é igual a 7/8 do volume do cone.

Quanto retirarmos a água, teremos:

De modo análogo, $Delta AbC sim Delta ABC$ , assim o cone de óleo é semelhante ao maior:

$frac{v_{oleo}}{v_{cone}} = (frac{H}{h})^{3} = frac{7}{8}$

$frac{H}{h} = frac{sqrt[3]{7}}{sqrt[3]{8}} Rightarrow H = frac{sqrt[3]{7}}{2} cdot h$

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