Questão 4

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere os polinômios e . Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x) o valor de é igual a

$0$

$frac{1}{2}$

$1$

$2$

$frac{5}{2}$

Gabarito:

$0$

Resolução:

O maior grau possível do resto da divisão de p(x) por b(x) é 1 (grau do divisor - 1). Consideremos então r(x)=ax+b;

Fatorando b(x) teremos b(x)=(x+3)(x−1) . Se fizermos cada fator de b(x) igual a zero e substituirmos no polinômio p(x) obteremos seus respectivos restos.

Fator (x + 3): x = - 3.

$\ p(x) = x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 \ p(- 3) = (- 3)^{80} + 3 cdot (- 3)^{79} - (- 3)^2 - (- 3) - 1 \ p(- 3) = 3^{80} + 3 cdot [- 1 cdot (3)^{79}] - (9) + 3 - 1 \ p(- 3) = 3^{80} - 3^{80} - 9 + 3 - 1 \ p(- 3) = - 7$

Fator (x - 1): x = 1.

$\ p(x) = x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 \ p(1) = 1 + 3 - 1 - 1 - 1 \ p(1) = 1$

De p(−3)=−7 chegamos a:

$\ r(x) = ax + b \ r(- 3) = - 3a + b \ - 3a + b = - 7$

De p(1)=1,

$\r(x) = ax + b \ r(1) = a + b \ a + b = 1$

Resolvendo o sistema $egin{cases}- 3a + b = - 7 \ a + b = 1 end{cases}$ tiramos que a=2 e b=−1 . Portanto, $oxed{r(x) = 2x - 1}$ .

Por fim,

$\ r(x) = 2x - 1 \\ r(frac{1}{2}) = 2 cdot frac{1}{2} - 1 \\ oxed{oxed{r(frac{1}{2}) = 0}}$