Questão 8

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere as afirmações:

I - Uma elipse tem como focos os pontos F₁(-3,0), F₂(3,0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é $frac{x^{2}}{16}+frac{y^{2}}{7}=1$ .

II - Os focos de uma hipérbole são F₁(-10,0), F₂ (10,0) e sua excentricidade é $frac{5}{3}$ . Sua equação é $16x^{2}-9y^{2}=576$ .

III – A parábola $8x=-y^{2}+6y-9$ tem como vértice o ponto V(3,0).

Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta.

Todas as afirmações são falsas

Apenas as afirmações (I) e (III) são falsas.

Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras

Todas as afirmações são verdadeiras.

Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Gabarito:

Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras

Resolução:

1) Como os focos da elipse estão em (-3,0) e (3,0), sabemos que ela está no eixo x. A equação dessa elipse na forma padrão é:

$frac{x^{2}}{a^{2}}+ frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Nesse caso, temos que a distância focal c vale 3.

E se o eixo maior vale 8, temos que a vale 4.

Uma relação conhecida da elipse é: $a^{2} = b^{2}+ c^{2}$

$4^{2} = b^{2} + 3^{2}$

$b^{2} = 7$

Então a equação é:

$frac{x^{2}}{16}+ frac{y^{2}}{7} = 1$

Afirmativa correta.

2) Para essa hipérbole situada no eixo x com os focos nos pontos (-10,0) (10,0) ,temos que a distancia focal c = 10. A equação geral da hipérbole para esse caso é: $frac{x^{2}}{a^{2}} - frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

A excentricidade de uma hipérbole é dada por, $frac{c}{a}$ que sabemos que vale $frac{5}{3}$ .

$frac{5}{3} = frac{10}{a}$

$a = 6$

Uma relação conhecida da hipérbole é: $c^{2} = a^{2}+ b^{2}$

$10^{2} = 6^{2} + b^{2}$

$b^{2} = 64$

Logo, a equação vai ser:

$frac{x^{2}}{36} - frac{y^{2}}{64}=1$

Fazendo o mmc:

$frac{16x^{2}-9y^{2} }{576} = frac{576}{576}$

$16x^{2} -9y^{2} = 1$

Afirmativa correta.

3) Ajustando essa equação da parábola:

$8x = - y^{2} + 6y - 9$

$-8x = y^{2}-6y + 9$

$-8x = left(y-3 ight )^{2}$

Na equação padrão da parábola temos:

$left(y- y_{0} ight )^{2} = 2pleft(x-x_{0} ight )$

Temos que $x_{0 } = 0$ e $y_{0} = 3$

Afirmativa falsa

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