Questão 5

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere as funções reais f e g, tais que $f(x)=sqrt x +4$ e $f(g(x))=x^{2}-5$ , onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.

$mathbb{R}-sqsupset -3, 3sqsubset$

$mathbb{R}-sqsupset -sqrt5, sqrt5 sqsubset$

$sqsupset -sqrt5, sqrt5 sqsubset$

$sqsupset -3, 3sqsubset$

$mathbb{R}-sqsupset -infty, 3sqsubset$

Gabarito:

$mathbb{R}-sqsupset -infty, 3sqsubset$

Resolução:

Primeiro vamos checar o domínio da função f(x).

$f(x) = sqrt{x} +4$

Portanto o dominío são todos os x maiores ou iguais a 0, ou todo o conjunto $mathbb{R}$ positivo.

Agora vamos descobrir qual é a função g(x) para estudar o seu domínio.

Sabemos que:

$f(g(x)) = x^{2} - 5$ ; Dessa forma:

$sqrt{g(x)} + 4 = x^{2} - 5$

$sqrt{g(x)} = x^{2} - 9$

Com isso temo que $sqrt{g(x)} geq 0$

$x^{2} - 9 geq 0$

as raízes são -3 e 3.

Fazendo o estudo do sinal da função, a é maior que 0, então a concavidade é voltada para cima. x é positivo para todos valores menores que -3 e maiores que 3. Fazendo a intersecção de g(x) com f(x):

F(x) = $mathbb{R}+$

$gleft(x ight ) = (-infty ,-3] , [3,infty )$

Fazendo a interseção temos que o domínio é:

$mathbb{R}- ]-infty ,3[$

Questão 5

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