Questão 14

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

Os valores reais de n para os quais a reta (t) y = x + n seja tangente à elipse de equação 2x² + 3y² = 6 são iguais a

$-sqrt{5}$ e $sqrt{5}$

$-sqrt{3}$ e $sqrt{3}$

– 3 e 3

– 2 e 2

– 5 e 5

Gabarito:

$-sqrt{5}$ e $sqrt{5}$

Resolução:

O valor de y na reta t é dado por x + n. Queremos que esse valor seja igual a um ponto da elipse. Então, iremos substituir esse y na equação da elipse para descobrir para quais valores de n isso é possível.

$2x^{2}+3y^{2} - 6 = 0$

$2x^{2}+ 3left(x+n ight )^{2} - 6 = 0$

$2x^{2}+ 3x^{2}+6xn+3n^{2} - 6 = 0$

$5x^{2} + 6xn + 3n^{2} - 6 = 0$

Observe que nessa equação, x é a única variável. n é uma constante.

Como a reta t deve ser tangente à elipse (só passa por um ponto), essa equação só pode ter uma raiz. Então o valor de $Delta$ deve ser igual a 0.

$left(6n ight )^{2}-4left(5 ight )left(3n^{2} - 6 ight ) = 0$

$36n^{2} -60n^{2} +120 = 0$

$24n^{2} = 120$

$n = +- sqrt{5}$

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