Questão 12

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

Considere a reta t mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta s : 2x - 3y + 12 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto M(1, 1) à reta t é

$frac{10sqrt{13}}{13}$

Gabarito:

$frac{10sqrt{13}}{13}$

Resolução:

1) Calculando a intersecção da reta s com o eixo x:

$2x + 12 = 0 ightarrow x = - 6 ightarrow B(-6,0)$

2) Calculando a intersecção da reta s com o eixo y:

$- 3y + 12 = 0 ightarrow y = 4 ightarrow A(0,4)$

3) Calculando o ponto médio dos pontos:

$N(frac{-6+0}{2}, frac{0+4}{2})=N(-3, 2)$

4) Procurando o coeficiente angular da reta s:

2x - 3y + 12 = 0

3y = 2x + 12

$y=frac{2}{3}x+4$

Logo, o coeficiente é $frac{2}{3}$

5) O coeficiente angular da reta t será $-frac{3}{2}$ , pois elas são perpendiculares.

6) Determinando a equação da reta t:

$y-y_o=m(x-x_o)$

$y-2=-frac{3}{2}(x+3)$

$2y-4=-3(x+3)$

$2y-4=-3x-9$

$2y+3x+5=0$

7) Interpretando a situação problema:

8) Calculando a distância do ponto M(1, 1) à reta (t) 3x + 2y + 5 = 0:

$d=frac{|ax_o+by_o+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$

$d=frac{|3+2+5|}{sqrt{3^2+2^2}}=frac{10sqrt{13}}{13}$

Questão 12

ESPCEX 2016

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