Questão 5

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

A soma das soluções da equação $cos(2x)-cos(x)=0$ com, $x in [0, 2pi)$ , é igual a

A

B

2π

C

D

π

E

Gabarito:

2π

Resolução:

$cos left(2x ight)-cos left(x ight)=0$

1) $mathrm{Usando:a:seguinte:identidade}:quad cos left(2x ight)=-1+2cos ^2left(x ight)$

$-1-cos left(x ight)+2cos ^2left(x ight)=0$

2) $mathrm{Considerando::}cos left(x ight)=u$

$-1-u+2u^2=0$

3) Resolvendo por Bhaskara:

$u_{1,:2}=frac{-left(-1 ight)pm sqrt{left(-1 ight)^2-4cdot :2left(-1 ight)}}{2cdot :2}$

$u_1=1,:u_2=-frac{1}{2}$

4) $mathrm{Substituindo:na:equação}:u=cos left(x ight)$

$cos left(x ight)=1,:cos left(x ight)=-frac{1}{2}$

5) Para $cos left(x ight)=1$

$x=0+2pi n$

Como x ε [0, 2π)

$x_1=0$

6) Para $cos left(x ight)=-frac{1}{2}$

$x_2=frac{2pi }{3}+2pi n,:x_3=frac{4pi }{3}+2pi n$

Como x ε [0, 2π)

$x_2=frac{2pi }{3},:x_3=frac{4pi }{3}$

7) A soma das soluções da equação com, x ε [0, 2π), é igual a

$\ S = x_1 + x_2 + x_3 \ S = 0 +frac{2pi }{3}+frac{4pi }{3} \ S = 2pi$

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