Questão 2

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016) A sequência $left( a_{1},, a_{2}, ...,, a_{10} ight )$ , onde $a_{1}=frac{3}{2},, a_{2}=frac{5}{2},, a_{3}=frac{9}{2},...,, a_{10}=frac{1025}{2}$ é de tal forma que para cada $nin left{1,, 2, ...,, 10 ight }$ temos que $a_{n}=b_{n}+c_{n}$ , onde $left(b_{1},,b_{2},...,,b_{10} ight )$ é uma P.G. com $b_{1} eq 0$ e de razão $q eq pm 1$ e $left(c_{1},, c_{2},...,,c_{10} ight )$ é uma P.A. constante.

Podemos afirmar que $a_{1}+a_{2}+...+a_{10}$ é igual a:

A

98

B

172

C

260

D

516

E

1028

Gabarito:

1028

Resolução:

Temos que $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ .

C é constante, então todos seus termos são iguais.

B é uma pg da forma $b_{n} = b_{1}q^{n}$ em que $q$ é a razão.

Precisamos primeiramente descobrir qual é essa razão.

Vamos montar um sistema.

$left{egin{matrix} a_{1} = b_{1} + c \ a_{2} = b_{1}q + c \ a_{3} = b_{1}q^{2} + c end{matrix} ight.$

Subtraindo a primeira da segunda:

$a_{2} - a_{1} = b_{1}left(q-1 ight )$

$frac{5}{2} - frac{3}{2} = b_{1}left(q-1 ight ) = 1$

Subtraindo a segunda da terceira:

$a_{3} - a_{2} = b_{1}qleft(q-1 ight )$

$frac{9}{2} - frac{5}{2} = b_{1}qleft(q-1 ight ) = 3$

Com isso, subtraindo um resultado do outro, temos que a razão é 2.

Se $b_{1}left(q-1 ight ) = 1$ , então: $b_{1}left(2-1 ight ) = 1$

$b_{1} = 1$

Fazendo $c_{1} = a_{1}-b_{1}$

$c_{1} = frac{3}{2} - 1 = frac{1}{2}$

Com isso, basta usar a fórmula do somatório dos n termos de uma pg para resolver o problema:

$S_{a} = S_{b}+ S_{c}$

$S_{a} = frac{b_{1}left(q^{10} -1 ight )}{q-1} + 10.c_{1}$

$S_{a} = frac{1.left(2^{10} -1 ight )}{2-1} + 10.frac{1}{2}$

$S_{a} = 1028$

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