Questão 15

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

O número real pertence ao conjunto

[-5, -3)

[ -3, -1)

[-1, 1)

[1, 3)

[3, 5)

Gabarito:

[1, 3)

Resolução:

Seja

$x=sqrt[3]{frac{25}{8}+frac{11sqrt{2}}{4}}+sqrt[3]{frac{25}{8}-frac{11sqrt{2}}{4}}$

lembremos do produto notável $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ , e agora fazemos:

$x^3=left( sqrt[3]{frac{25}{8}+frac{11sqrt{2}}{4}} ight )^3+left( sqrt[3]{frac{25}{8}-frac{11sqrt{2}}{4}} ight )^3+3xleft( sqrt[3]{frac{25}{8}+frac{11sqrt{2}}{4}} ight )left( sqrt[3]{frac{25}{8}-frac{11sqrt{2}}{4}} ight )\ Rightarrow x^3=frac{25}{8}+frac{11sqrt{2}}{4}+frac{25}{8}-frac{11sqrt{2}}{4}+3xsqrt[3]{frac{25^2}{8^2}-frac{121cdot 2}{16} }\ Rightarrow x^3=frac{25}{4}+3xsqrt[3]{frac{625}{64}-frac{242}{16}}\ Rightarrow x^3=frac{25}{4}+3xsqrt[3]{-frac{343}{64}}\ Rightarrow x^3=frac{25}{4}+3xleft(-frac{7}{4} ight) \ Rightarrow x^3+xfrac{21}{4}-frac{25}{4}=0$

observe na última linha que x=1 é solução, portanto:

$x^3+xfrac{21}{4}-frac{25}{4}=0\ Rightarrow (x-1)left(x^2+x+frac{25}{4} ight )=0$

Como o segundo termo não possui solução real, temos então que

$sqrt[3]{frac{25}{8}+frac{11sqrt{2}}{4}}+sqrt[3]{frac{25}{8}-frac{11sqrt{2}}{4}}=1$

logo a alternativa certa é a "d".

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