Questão 4
ESPCEX 2019
(EsPCEx - 2019)
Sabe-se que as raízes da equação estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de
é igual a
4
3
Gabarito:
4
Resolução:
Digamos que as raízes são ,
e
. Pelas relações de Girard temos:
Vamos nos ater à primeira equação. Precisamos considerar que ao dizer que as raízes estão em PA se quer dizer que são elementos consecutivos de uma PA. Sendo assim, então podemos escrever e
em função de
e da razão da PA que aqui chamo de
:
e
. Dessa forma, a primeira equação fica:
.
Agora descobrimos que uma raiz é 1. Agora aplicamos o algoritmo de Briot-Ruffini:
| 1 | -3 | -6 | k |
| 1 | 1+(-3) = -2 | (-2).1+(-6) = -8 | (-8).1 + k = 0 |
Como o último termo é 0, então é só fazer -8 + k = 0 => k = 8.
Daí, k/2 = 4 que dá a Letra B.
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Repare que foi feito uma solução mais robusta. Mas não era necessário. Só o fiz para ilustrar os conceitos expostos.
Por exemplo, quando descobrimos que uma das raízes é 1 era só substituir este valor na equação do enunciado e descobrir o valor de k.
Você também poderia não aplicar a primeira relação de Girard. Você poderia ter feito três elementos da PA, por exemplo, ,
e
, subsituir estes valores na equação do enunciado e descobrir já direto que k = 8. Essa última alternativa é mais trabalhosa, mas existe.