Questão 11

ESPCEX 2019

Matemática

(EsPCEx - 2019)

Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados.

Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual a

$2-sqrt{3}$

$2-frac{sqrt{3}}{3}$

$1-frac{sqrt{3}}{3}$

$sqrt{3}-1$

$frac{sqrt{3}}{3}$

Gabarito:

$2-sqrt{3}$

Resolução:

Pela simetria do problema, e fazendo marcação de ângulos, percebe-se que $Delta VNS$ é equilátero. Sendo X e W os pontos médios de BC e Mu.

Asim,

$Delta RBX herefore cos 30^{circ} = frac{BX}{BR} herefore frac{sqrt{3}}{2} = frac{frac{1}{2}}{BR}$

$sqrt{BR} = 1$

$BR = frac{1}{sqrt{3}}$

$Br = frac{sqrt{3}}{3}$

Assim, $MR = BM - BR = 1 - frac{sqrt{3}}{3}$

$Delta RWM cdot cos 30^{circ} = frac{MW}{RM}$

$frac{sqrt{3}}{2} = frac{MW}{1 - frac{sqrt{3}}{3}}$

$Mw = frac{sqrt{3}}{2} (1 - frac{sqrt{3}}{3})$

$Mw = frac{sqrt{3}}{2} - frac{1}{2} = frac{sqrt{3}-1}{2}$

Mas $Mu = 2Mw Rightarrow Mu = sqrt{3} -1$

E $SN = MN - SM = MN - Su$

Pois $Delta SMu$ é equilátero

$Delta SMuSN = 1 - (sqrt{3} - 1)$

$DN = rN = 2 - sqrt{3}$

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