Questão 6

ESPCEX 2019

Matemática

(EsPCEx - 2019)

O conjunto solução da inequação $2cos^2x+senx>2$ , no intervalo $[0,pi]$ , é

$]0, frac{pi}{6}[$

$]frac{5 .pi}{6}, pi[$

$]0, frac{pi}{3}[ U ] frac{2.pi}{3}, pi[$

$]0, frac{pi}{3}[$

$] 0, frac{ pi}{6}[ U ] frac{5. pi}{6}, pi[$

Gabarito:

$] 0, frac{ pi}{6}[ U ] frac{5. pi}{6}, pi[$

Resolução:

Temos a inequação:

$2.cos^2(x)+ sen(x) >2$

Lembrando da seguinte relação:

$cos^2 x= 1- sen^2x$

Fazendo a substituição na primeira equação temos:

$\ 2(1-sen^2(x))+sen(x)>2Rightarrow -2.sen^2(x)+sen(x)+2>2 \ \ -2.sen^2(x)+sen(x)>0$

Para ficar mais fácil vamos fazer a seguinte substituição:

$sen(x)=u$

$-2u^2+u>0 Rightarrow (2u-1)u<0$

Note aqui que multiplicamos os termos que estão dentro do parêntese e invertemos o sinal de desigualdade para facilitar nosso estudo de sinais:

O intervalo correto fica como

$0<u< frac{1}{2}Rightarrow 0<sen(x)< frac{1}{2}$

Com isso analisando o circulo trigonométrico temos:

COm isso os resultados possíveis são:

$]0, frac{pi}{6 } [ U ] frac{5.pi }{6}, pi[$

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