Questão 8

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020)

Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. Então, a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

$sqrt{14}$

$sqrt{17}$

$sqrt{18}$

$sqrt{21}$

$sqrt{22}$

Gabarito:

$sqrt{22}$

Resolução:

Observe o desenho a seguir:

Lei dos cossenos em ABC para descobrirmos o valor de $cosleft(alpha ight )$ :

$BC^2=AB^2+AC^2-2cdot ABcdot ACcdot cosleft(alpha ight )Rightarrow 6^2=4^2+4^2-2cdot4^2cdot cosleft(alpha ight )Rightarrow$

$Rightarrow cosleft(alpha ight )=frac{4^2+4^2-6^2}{2cdot4^2}=frac{16+16-36}{2cdot16}=frac{32-36}{32}=frac{-4}{32}Rightarrow$

$Rightarrow cosleft(alpha ight )=frac{-1}{8}$

Agora com este valor em posse podemos aplicar lei dos cossenos no triângulo AMC:

$MC^2=AM^2+AC^2-2cdot AMcdot ACcdot cosleft(alpha ight )Rightarrow x^2=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdot cosleft(alpha ight )Rightarrow$

$Rightarrow x^2=4+16-16cdot left(-frac{1}{8} ight )=20+2=22Rightarrow x=sqrt{22}$ .

A Letra E é a correta.

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