Questão 9

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020) Qual o valor de n, no binômio $(x+3)^n$ para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?

Gabarito:

Resolução:

Quando se diz 'potências decrescentes de x' significa que queremos fazer uma expansão binomial de $left(x+3 ight )^n$ com x começando com expoente n e indo para o expoente 0 como último termo. O que queremos é o 5º termo dessa expansão. Então fica assim:

$left(x+3 ight )^n=inom{n}{0}cdot x^ncdot 3^0+inom{n}{1}cdot x^{n-1}cdot 3^1+inom{n}{2}cdot x^{n-2}cdot 3^2+inom{n}{3}cdot x^{n-3}cdot 3^3+inom{n}{4}cdot x^{n-4}cdot 3^4+...+inom{n}{n}cdot x^0cdot 3^n$

Como podemos ver, o 5º termo é $inom{n}{4}cdot x^{n-4}cdot 3^4$ que fica:

$inom{n}{4}cdot3^4=frac{n!}{4!cdotleft(n-4 ight )!}cdot3^4=frac{ncdotleft(n-1 ight )cdotleft(n-2 ight )cdotleft(n-3 ight )cdotleft(n-4 ight )!cdot3^4}{4!cdotleft(n-4 ight )!}=5670Rightarrow$

$Rightarrow ncdotleft(n-1 ight )cdotleft(n-2 ight )cdotleft(n-3 ight )=70cdot4!=1680$

$Rightarrow n=8$ .

A Letra D está correta!

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