Questão 12

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é parelela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a

$frac{pi x^{3}}{3}$ .

$pi x^3$ .

$frac{pi x^3}{2}$ .

$frac{3pi x^3}{4}$ .

$2pi x^3$ .

Gabarito:

$frac{pi x^3}{2}$ .

Resolução:

O sólido formado é semelhante a um cilindro de lado igual a altura de MNP, porém retirando-se (ou cortando) deste cilindro dois cones de raio igual à altura de MNP com vértice em M.

Logo,V_sólido = V_cilindro - 2 . V_cone, onde:

$V_{cilindro}=pi r^2H$

$r=h=frac{xsqrt{3}}{2}$ e H = X

$picdotleft ( frac{xsqrt{3}}{2} ight )^2cdot x=pifrac{3}{4}cdot x^3=frac{3}{4}cdot x^3$

$V_{cone}=picdot r^2cdotfrac{H}{3}$

$r=h=frac{xsqrt3}{2}$ e $H=frac{H}{2}=frac{x}{2}$

$picdotfrac{3x^2}{4}cdotfrac{x}{6}=frac{1}{6}cdotfrac{3pi}{4}cdot x^3$

$2cdot V_{cone}=frac{1}{3}cdotfrac{3pi}{4}x^3$

Logo, $V_{solido}=frac{3pi}{4}cdot x^3-frac{1}{3}cdotfrac{3pi}{4}x^3=frac{2}{3}cdot{3pi}{4}cdot x^3=frac{pi x^3}{2}$

Questões relacionadas

Questão 1

(EsPCEx - 2020) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE. A razão entre as áreas do quadrado ABCD...

Ver questão

Questão 10

(EsPCEx - 2020) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que o poliedro possui é igual a

Ver questão

Questão 4

(EsPCEx - 2020) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupan...

Ver questão

Questão 5

(EsPCEx - 2020) Sabendo-se que a equação 2x2 + ay2 - bxy - 4x + 8y + c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a + b + c é igual a

Ver questão