Questão 21

ESPCEX 2022

Física

(EsPCEx - 2022)

Dois recipientes de mesma forma e tamanho são feitos do mesmo material e têm o coeficiente de dilatação volumétrico igual a $gamma_{R}$ . Um deles está completamente cheio de um líquido A com coeficiente de dilatação real igual a $gamma_{A}$ , e o outro está completamente cheio de um líquido B com coeficiente de dilatação real igual a $gamma_{B}$ . Em um determinado instante, os dois recipientes são aquecidos e sofrem a mesma variação de temperatura. Devido ao aquecimento, um décimo do volume inicial do líquido A transborda e um oitavo do volume inicial do líquido B também transborda. Com relação à situação exposta, podemos afirmar que é verdadeira a seguinte relação:

$gamma_{A} = 2 cdot gamma_{R} + 4 cdot gamma_{B}$

$gamma_{A} = 5 cdot gamma_{R} + 4 cdot gamma_{B}$

$gamma_{A} = 2 cdot gamma_{R} - 8 cdot gamma_{B}$

$gamma_{R} = 5 cdot gamma_{A} - 4 cdot gamma_{B}$

$gamma_{R} = 2 cdot gamma_{A} + 8 cdot gamma_{B}$

Gabarito:

$gamma_{R} = 5 cdot gamma_{A} - 4 cdot gamma_{B}$

Resolução:

Utilizando a dilatação aparente, temos:

$Delta V_{AP} = V_0cdotgamma_{AP}cdotDelta T = V_0cdot (gamma_L-gamma_R)cdot Delta T$

Para o líquido A, sabemos que vaza um décimo do volume inicial, ou seja:

$frac{1}{10}V_0=V_0cdot(gamma_A-gamma_R)cdotDelta T$

Para o líquido B, sabemos que vaza um oitavo do volume inicial, assim:

$frac{1}{8}V_0=V_0cdot(gamma_B-gamma_R)cdotDelta T$

Fazendo a razão entre as duas equações:

$frac{frac{1}{10}V_0}{frac{1}{8}V_0}=frac{V_0cdot(gamma_A-gamma_R)cdotDelta T}{V_0cdot(gamma_B-gamma_R)cdotDelta T}$

$frac{frac{1}{10}cancel{V_0}}{frac{1}{8}cancel{V_0}}=frac{cancel{V_0}cdot(gamma_A-gamma_R)cdotcancel{Delta T}}{cancel{V_0}cdot(gamma_B-gamma_R)cdotcancel{Delta T}}$

$frac{8}{10}=frac{(gamma_A-gamma_R)}{(gamma_B-gamma_R)}$

$frac{4}{5}=frac{(gamma_A-gamma_R)}{(gamma_B-gamma_R)}$

$5gamma_A-5gamma_R=4gamma_B-4gamma_R$

Isolando o $gamma_R$ :

$-5gamma_R-4gamma_R=4gamma_B-5gamma_A$

$-gamma_R=4gamma_B-5gamma_A$

Multiplicando por -1:

$gamma_R=5gamma_A-4gamma_B$

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