Questão 26

ESPCEX 2022

Física

(EsPCEx - 2022)

Uma granada de massa M é lançada do solo plano e horizontal com uma velocidade inicial $overrightarrow{V_{0}}$ formando um ângulo $heta$ com o sentido positivo do eixo horizontal X. Na altura máxima da sua trajetória parabólica, ela explode em dois fragmentos F1 e F2. O fragmento F1 de massa M/4, imediatamente após a explosão, adquire uma velocidade $overrightarrow{V_1}$ , vertical e orientada para baixo ao longo do sentido negativo do eixo Y. O intervalo de tempo entre o instante imediatamente após a explosão da granada e o instante em que o fragmento F2 toca o solo é de:

Dados: Despreze a resistência do ar, considere que o módulo da aceleração da gravidade é igual a g e que as trajetórias da granada e dos fragmentos estão apenas no plano XY.

A

$[V_{1}/3+V_{0}(1/9-sen heta)]/g$

B

$sqrt{[V_{1}/3+V_{0}(1/9-sen heta)]}/g$

C

$[V_{1}/3+V_{0}(1/9+sen heta)]/g$

D

$[V_{1}/3+sqrt{V_{1}^{2}/9+V_{0}^{2}sen^{2} heta}]/g$

E

$[V_{1}/3+sqrt{V_{1}^{2}/9-V_{0}^{2}sen^{2} heta}]/g$

Gabarito:

$[V_{1}/3+sqrt{V_{1}^{2}/9+V_{0}^{2}sen^{2} heta}]/g$

Resolução:

A granada faria um lançamento oblíquo, mas no ponto de altura máxima ela explode, soltanto fragmentos.

Perceba na figura que o fragmento verde é decomposto nas componentes horizontais e verticais (2x e 2y).

Primeiro vamos descobrir a altura máxima:

$v_Y^2=v_{0y}^2-2gH$

$v_{0y}=v_ocdot sen heta$

$0^2=(v_ocdot sen heta)^2-2gH$

$H=frac{v_o^2cdot sen heta^2}{2g}$ (equação 1)

Na conservação da quantidade de movimento, temos:

$Q_{xi} = Q_{xf}$

$Mcdot v_x = frac{3M}{4}cdot v_{2x}$

$v_{2x} = frac{4}{3}cdot v_x$

$Q_{yi} = Q_{yf}$

$0 = frac{3M}{4}v_{2y}-frac{M}{4}cdot v_1$

Considerando que $v_1$ é a velocidade do fragmento vermelho

$v_{2y}=frac{v_1}{3}$ (equação 2)

O fragmento ver vai partir da altura H e chega em 0, logo:

$S=S_0+v_{2y}cdot t +frac{1}{2}cdot gcdot t^2$

$0=H+v_{2y}cdot t -frac{1}{2}cdot gcdot t^2$

Substituindo as equações 1 e 2:

$0=frac{v_0^2cdot sen^2 heta}{2g}+frac{v_1}{3}cdot t -frac{1}{2}cdot gcdot t^2$

Para facilitar, vamos multiplicar a equação por um fator $frac{2}{g}$

$(0=frac{v_0^2cdot sen^2 heta}{2g}+frac{v_1}{3}cdot t -frac{1}{2}cdot gcdot t^2) cdot frac{2}{g}$

$t^2-frac{2v_1cdot t}{3g} - frac{v_0^2cdot sen^2 heta}{g^2} = 0$

$t=frac{frac{2v_1}{3}pm sqrt{(frac{2v_1}{3g})^2-4cdot 1cdot (frac{v_0^2cdot sen^2 heta}{g^2})}}{2cdot 1}$

Como queremos encontrar o tempo, vamos considerar somente a parte positiva:

$t=frac{frac{v_1}{3}+ sqrt{frac{v_1^2}{9}+v_0^2cdot sen^2 heta}}{g}$

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