Questão 12

Matemática

(EsPCEx - 2023)

Sabendo que $x epsilon [0,2pi]$ , o número de soluções da equação $cos left ( 3x - frac{pi}{4} ight )=0$ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos substituir o ângulo:

$\ 3x - frac{pi}{4} por heta$

Portanto, vamos ter:

$Cos( heta) = 0$

Então:

$heta = frac{pi}{2} + k pi$

com k pertencente ao z, temos que:

$\ 3x - frac{pi}{4} = frac{pi }{2} + kpi \ \ x = frac{pi}{4} + k. frac{pi }{3}$

Então:

$x = 45 + k. 60$

Logo, temos que

0 ≤ 45° + k.60° ≤ 360°

45° + k.60°≥0 e 45° + k.60°≤ 360°

Na primeira equação, temos:

45° + k.60°≥0

k . 60° ≥ -45°

k ≥ -45°/60°

k ≥ -3/4

k ∈ ℤ, então k ≥ 0

Resolvendo a segunda, temos:

45° + k.60°≤ 360°

k.60°≤ 360° - 45°

k.60°≤ 315°

k ≤ 315°/60°

Sabemos que 315°/60° é um valor maior do que 5.

k ∈ ℤ, então k ≤ 5

Podemos verificar que:

$0 leq k leq 5$

Como k é inteiro, existem 6 valores possíveis para k, são eles {0,1,2,3,4,5}.

Gabarito: E