Questão 15

ESPCEX 2023

Matemática

(EsPCEx - 2023)

Dados os conjuntos $A subset mathbb{R}, B subset mathbb{R}$ E $C subset (Acup B)$ . Se $Acup B$ , $A cap B$ e $B cap C$ são, respectivamente, os domínios das funções reais definidas por: $log left ( 2x-frac{sqrt{pi}}{2} ight )$ , $sqrt{-x^{2}+7x-12}$ e $frac{sqrt{x-frac{2pi}{3}}}{frac{7}{2}-x}$ , é correto afirmar que:

A

$C=left [ frac{pi}{3},3 ight ]$

B

$C=left [ frac{2pi}{3},4 ight ]$

C

$C=left [ frac{2pi}{3},frac{7}{2} ight ]$

D

$C=left [ frac{sqrt{pi}}{4},frac {2pi}{3} ight ]$

E

$C=left [ frac{sqrt{pi}}{4},frac {7}{2} ight ]$

Gabarito:

$C=left [ frac{2pi}{3},4 ight ]$

Resolução:

Para achar o domínio, precisamos verificar qual o intervalo de valores x pode assumir, com isso:

Primeira função:

$\ log (2x-frac{sqrt{pi}}{2}) \ \ 2x - frac{sqrt{pi}}{2} > 0 \ \ x > frac{sqrt{pi}}{4}$

Segunda função:

$\ sqrt{-x^{2}+7x-12} \ \ - x^{2} +7x -12 > 0 \ \ x^{2} -7x +12 < 0 \ \ (x-3)(x-4) < 0$

Então x pertence (3,4)

Terceira função, temos:

$frac{sqrt{x-frac{2pi}{3}}}{frac{7}{2}-x}$

$frac{{x-frac{2pi}{3}}}{frac{7}{2}-x} > 0$

x pertence [2pi/3, 7/2)

Portanto, temos que:

$\ AUB = (frac{sqrt{pi}}{4}, infty ) A cap C = (3,4) e B cap C = [frac{2pi}{3}, frac{7}{2})$

Como C está contido em A U B, então:

$(Acap C) cup (B cap C) = C$

Portanto:

Gabarito: B $C = [frac{2 pi}{3},4)$

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