Questão 7854

FGV 1984

Matemática

(CESGRANRIO - 1984) Um recipiente cônico, com altura 2 e raio da base 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. A distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. lI, é:

Gabarito:

Resolução:

Na primeira situação, seja r o raio da base do cone, então o volume contido recipiente é:

$V=frac{h}{3}pi r^2-frac{h}{6}pi left(frac{r}{2} ight )^2$

que correponde ao volume total do recpiente menos a região não preenchida. Na segunda situação, se h' é a distância procurada:

$V=frac{h}{3}pi r^2$

o valor de r' pode ser obtido por semelhança de triângulos:

$frac{r}{h}=frac{r}{h}Rightarrow r=frac{rcdot h}{h}$

igualando as expressões para o volume e substiuindo o valor de r':

$frac{h}{3}pi r^2-frac{h}{6}pi left(frac{r}{2} ight )^2=frac{h}{3}pileft(frac{rcdot h}{h} ight )^2\\Rightarrow h^3left(frac{1}{3}-frac{1}{24} ight )=frac{h^3}{3}\\Rightarrow h^3=frac{7}{8}h^3=frac{7}{8}cdot 8=7\\Rightarrow h=sqrt[3]{7}$

Questão 7854

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