Questão 6944

FGV 2009

Matemática

(Fgv 2009) Resolvendo a equação log₂(sen x) = log₄(cos x) no intervalo 0º < x < 90º o valor de x tal que:

45º < x < 60º

30º < x < 45º

0º < x < 30º

75º < x < 90º

60º < x < 75º

Gabarito:

45º < x < 60º

Resolução:

$\\ log_2(senx)=log_4(cosx);;Rightarrow;;log_2(senx)=frac{1}{2}log_2(cosx);;Rightarrow;;log_2(senx)=log_2(cosx)^{frac{1}{2}};;Rightarrow;;senx=cosx^{frac{1}{2}};;Rightarrow;;sen^2x=cosx;;Rightarrow;;1-cos^2x=cosx;;Rightarrow;;cos^2x+cosx-1=0;;Rightarrow;;cosx=frac{-1pmsqrt{5}}{2};;Rightarrow;;cosx=frac{sqrt{5}-1}{2}approxfrac{2,25-1}{2}=0,625\\ ext{Ora:} \\ cos45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}approxfrac{1,41}{2}=0,705\\ cos60^{circ}=frac{1}{2}=0,5\\$

$\\ herefore;;cos45^{circ}>cosx>cos60^{circ};; herefore;;oxed{45^{circ}<x<60^{circ}}$

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