Questão 6468

FUVEST 1996

Matemática

(FUVEST - 1996) No triângulo ABC, AC = 5 cm, BC = 20 cm e cosα = 3/5. O maior valor possível, em cm², para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir, é:

16.

18.

20.

22.

24.

Gabarito:

20.

Resolução:

Vamos chamar NP de x e PQ de y. Assim temos que a área será:

$A=xcdot y$

Note que como:

$cos( alpha )=3/5$

Então,

$sin (alpha )=frac{y}{QC}=4/5 Rightarrow QC=frac{5y}{4}Rightarrow AQ=5-frac{5y}{4}$

Além disso, note que o triâgulo AMQ é semelhante ao ABC, pois MQ é paralelo à BC. Assim temos:

$frac{AC}{BC}=frac{5}{20}=frac{AQ}{MQ}=frac {left ( 5-frac{5y}{4} ight )}{x}Rightarrow frac{1}{4}=frac {left ( 5-frac{5y}{4} ight )}{x};;;;; herefore;; x=20-5y$