Questão 6609

FUVEST 1997

Matemática

(Fuvest 1997) Sendo sen α = 9/10, com 0 < α < π/2, tem-se

sen α < sen π/3 < sen 2α

sen π/3 < sen α < sen 2α

sen α < sen 2α < sen π/3

sen 2α < sen π/3 < sen α

sen 2α < sen α < sen π/3

Gabarito:

sen 2α < sen π/3 < sen α

Resolução:

$\ extrm{Relação fundamental da Trigonometria:}\sin^2x+cos ^2x=1\\ extrm{Se }sin alpha=frac{9}{10},; extrm{então:}\\cos alpha = sqrt{1 - (frac{9}{10})^2};;;;;;;;Rightarrow cos alpha=frac{sqrt{19}}{10}$

$\ extrm{Já que todas as alternativas têm } sin 2alpha , extrm{então vamos calcul a-lo:}\sin 2alpha =2cdot sin alpha cdot cos alpha=2cdot frac{9}{10}cdot frac{sqrt{19}}{10}=frac{9sqrt{19}}{50}$

$\ extrm{Utilizando o seguinte dispositivo: } \\sqrt{N}=frac{N+(quadrado;mais;proximo)}{2sqrt{quadrado;mais;proximo}}$

$\sqrt{19}=frac{19+16}{2sqrt{16}};;;;;;sqrt{19}approx frac{35}{8}approx 4.4$

$\ extrm{Portanto, }sin 2alpha =frac{9cdot 4,4}{50}=0.792$

$\ extrm{Já sabemos que: }sin alpha =frac{9}{10}=0,9$

$\ extrm{E }sin frac{pi}{3} =frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87$

$\ extrm{Então: }sin 2alpha<sin frac{pi}{3}< sin alpha$

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