Questão 68442

FUVEST 1999

Matemática

(FUVEST - 1997) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é

Gabarito:

Resolução:

$3888n=x^3$

Vamos fatorar o número 3888:

$3888=2^4cdot 3^5$

$x^3=2^4cdot 3^5cdot n$

$x=sqrt[3]{2^4cdot 3^5cdot n}$

Os expoentes de 2 e 3 devem ser múltiplos de 3 para sair da raiz.

$n=2^{alpha}cdot 3^{eta}$

$x=sqrt[3]{2^4cdot 3^5cdot 2^{alpha}cdot 3^{eta}}$

$x=sqrt[3]{ 2^{4+alpha}cdot 3^{5+eta}}$

Para que $4+alpha$ seja múltiplo de 3, o menor valor de $alpha$ deve ser 2.

Para que $5+eta$ seja múltiplo de 3, o menor valor de $eta$ deve ser 1.

Logo:

$n=2^2cdot 3^1$

$n=12$

Alternativa correta é Letra B.

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