Questão 51491

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)

Sejam A = (0,0), B = (8,0) e C = (−1,3) os vértices de um triângulo e D = (u,v) um ponto do segmento $overline{BC}$ . Sejam E o ponto de intersecção de $overline{AB}$ com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de $overline{AC}$ com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.

Gabarito:

Resolução:

a) O desenho é o seguinte:

(Localizações simbólicas de D, E e F)

Vamos encontrar a equação da reta BC:

$3-0=m(-1-8) ightarrow m=frac{3}{-9}=-frac{1}{3}$

$y-0=-frac{1}{3}(x-8) ightarrow y=frac{8-x}{3}$

Assim o ponto D é:

$v=frac{8-u}{3} ightarrow D=(u,frac{8-u}{3})$

Achando agora a equação da reta AC:

$3-0=m(-1-0) ightarrow m=-3$

$y-0=-3(x-0) ightarrow y=-3x ightarrow x=-frac{y}{3}$

Sendo F=(w,v), temos:

$w=-frac{v}{3} ightarrow -frac{frac{8-u}{3}}{3} ightarrow frac{u-8}{9}$

Com isso, podemos encontrar o valor da área do trapézio AEDF. Calculando o tamanho de DF:

$DF=u-frac{u-8}{9} ightarrow frac{8u+8}{9}$

Com isso:

$\A_{AEDF}=frac{(AE+DF)cdot DE}{2} ightarrow frac{(u+frac{8u+8}{9})cdot v}{2} ightarrow frac{(u+frac{8u+8}{9})cdot frac{8-u}{3}}{2}=frac{(17u+8)(8-u)}{54}$

Essa é a área com base em u.

b) Fazendo essa equação de u:

$\A_{AEDF}=frac{(17u+8)(8-u)}{54} ightarrow frac{136u+64-17u^2-8u}{54} ightarrow frac{-17u^2+128u+64}{54}$

Temos uma equação de segundo grau. O valor máximo da área será quando a equação ter o valor máximo, ou seja, o vértice da parábola:

$u_v=frac{-128}{2(-17)} ightarrow frac{64}{17}$

Esse é o valor para área máxima.

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)frac{(17u+8)(8-u)}{54}\\ b)frac{64}{17}end{matrix} ight.}$

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