Questão 57
FUVEST 2002
(FUVEST - 2002 - 1a fase)
Na figura a seguir, os triângulos ABC e DCE são equiláteros de lado ℓ, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de BD com AC. Então, a área do triângulo BCF é:
Gabarito:
Resolução:
A figura a seguir foi obtida a partir da figura do enunciado e da observância das características da mesma:
Observe que BC = CD = l. Observe também que . Como
, então
.
Já que BC = CD = l, então o triângulo BCD é isósceles. Se BCD é isósceles, então os ângulos e
são iguais a 30º. Com isto em mente, repare que BD é bissetriz de
, pois divide um ângulo de 60º em dois outros iguais a 30º. Daí é fácil perceber que
é um ângulo reto, ou seja, igual a 90º. Então, o segmento BF é a altura do triângulo ABC referente à base AC.
Como BF é bissetriz de e
e BF é um segmento em comum entre os triângulos ABF e AFC, então os dois triângulos ABF e BFC são congruentes pelo critério ALA. Como queremos a área do triângulo BFC e como este triângulo é a metade do triângulo ABC, então a área de BFC é igual à área de ABC sobre 2.
A área de ABC é fácil de se calcular, é aplicação de fórmula da área do triângulo equilátero: .
Então,
.
A alternativa correta é, portanto, a Letra A.