Questão 51502

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Na figura abaixo, as circunferências C₁ e C₂, de centros O₁ e O₂, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C₁ e C₂; a reta s passa por O₁ e O₂ e β é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C₁ é 4, o de C₂ é 3 e que $seneta = frac{1}{5}$ , calcule:

a) a área do quadrilátero O₁QO₂P;

b) sen α , onde α = QÔ₂P.

Gabarito:

Resolução:

a) Com base nas informações do enunciado:

Precisamos primeiro encontrar o tamanho da reta O1O2. Podemos usar o triângulo AO1O2 para isso. Encontrando o valor de AO1:

$\AB=BO_2 ightarrow AB=4\ O_1B=O_1A+AB ightarrow 5=O_1A+4 ightarrow O_1A=1$

Sendo o ângulo $Awidehat{O_2}O_1=eta$

$seneta=frac{AO_1}{O_1O_2} ightarrow frac{1}{5}=frac{1}{O_1O_2} ightarrow O_1O_2=5$

Como temos que os triângulos O1PO2 e O1QO2 são iguais e podemos usá-los para calcuar a área do quadrilátero:

$A_{O_1PO_2Q}=2cdot (frac{O_1Pcdot O_2Q}{2}) ightarrow 4cdot3=12$

b) Temos que:

$sen(frac{alpha}{2})=frac{4}{5}$

$cos(frac{alpha}{2})=frac{3}{5}$

Com isso:

$sen(alpha)=2cdot sen(frac{alpha}{2})cdot cos(frac{alpha}{2})$

Sendo então:

$sen(alpha)=2cdot frac{4}{5}cdot frac{3}{5}=frac{24}{25}$

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)A_{O_1QO_2P}=12\b)sen(alpha) =frac{24}{25} end{matrix} ight.}$

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