Questão 51

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 1a fase)

As páginas de um livro medem 1dm de base e $sqrt{1+sqrt3}$ dm de altura. Se este livro for parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida do ângulo $alpha$ , formado pelas diagonais das páginas será:

15^o

30^o

45^o

60^o

75^o

Gabarito:

30^o

Resolução:

Organizando o desenho, temos que:

Podemos encontrar o valor de alfa usando a lei dos cossenos, basta antes encontrar o valor de L:

$\L^2=1^2+(sqrt{1+sqrt3})^2\L^2=1+1+sqrt3\ L=sqrt{2+sqrt3}$

Agora usando a lei dos cossenos:

$\1^2=L^2+L^2-2cdot Lcdot Lcdot cosalpha\ 1=2+sqrt3+2sqrt3-2cdot(2sqrt3)cdot cosalpha\ 1=2cdot(2+sqrt3)(1-cosalpha)\\ cosalpha=1-frac{1}{2cdot(2+sqrt3)}$

Racionalizando essa fração:

$frac{1}{2cdot(2+sqrt3)}cdot frac{2-sqrt3}{2-sqrt3} ightarrow frac{2-sqrt3}{2cdot(4-3)} ightarrow frac{2-sqrt3}{2}$

Agora:

$cosalpha=1-frac{2-sqrt3}{2} ightarrow frac{2-2+sqrt3}{2}=frac{sqrt3}{2}$

Sendo assim:

$alpha=arccos(frac{sqrt3}{2}) ightarrow alpha=30^circ$

$oxed{Resposta:Letra; B}$

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