Questão 52

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 1a fase)

Se α está no intervalo [0, $frac{pi}{2}$ ] e satisfaz $sen^4 alpha - cos^4 alpha = frac{1}{4}$ , então o valor da tangente de α é:

$sqrt{frac{3}{5}}$

$sqrt{frac{5}{3}}$

$sqrt{frac{3}{7}}$

$sqrt{frac{7}{3}}$

$sqrt{frac{5}{7}}$

Gabarito:

$sqrt{frac{5}{3}}$

Resolução:

Podemos aplicar um produto notável nesse caso:

$(sen^2alpha+cos^2alpha)(sen^2alpha-cos^2alpha)=sen^4alpha-cos^4alpha=frac{1}{4}$

Dessa maneira:

$(1)(sen^2alpha-cos^2alpha)=frac{1}{4} ightarrow sen^2alpha-cos^2alpha=frac{1}{4}$

Podemos montar um sistema:

$left{egin{matrix} sen^2alpha+cos^2alpha=1; ; ; (I)\sen^2alpha-cos^2alpha=frac{1}{4}; ; ; (II) end{matrix} ight.$

Fazendo I+II:

$2sen^2alpha=1+frac{1}{4}=frac{5}{4} ightarrow sen^2alpha=frac{5}{8}$

Com isso, substituindo alfa em I:

$frac{5}{8}+cos^2alpha=1 ightarrow cos^2alpha=1-frac{5}{8} ightarrow cos^2alpha=frac{3}{8}$

Agora podemos encontrar a tangente:

$\sqrt{frac{sen^2alpha}{cos^2alpha}}=pm tgalpha\\ pm tgalpha=sqrtfrac{frac{5}{8}}{frac{3}{8}} ightarrowpm tgalpha=sqrtfrac{5}{3}$

Por conta do intervalo, vamos admitir somente o valor positivo da tangente.

$oxed{Resposta:Letra; B}$

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