Questão 55

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 1a fase)

Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio AB = AC = AD = R. A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos α e β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

$frac{R^2}{2}(sen2alpha+seneta)$

$frac{R^2}{2}(senalpha+sen2eta)$

$frac{R^2}{2}(cos2alpha+sen2eta)$

$frac{R^2}{2}(senalpha+coseta)$

$frac{R^2}{2}(sen2alpha+coseta)$

Gabarito:

$frac{R^2}{2}(sen2alpha+seneta)$

Resolução:

Podemos assumir que a área dos dois triângulos somadas, nos dá a área do quadrilátero.

Podemos afirmar que ambos são triângulos isósceles, sendo assim, no triângulo ABC os ângulos em C e B são alfa, já o ângulo em A é $180^circ-2alpha$ . Dessa maneira podemos calcular a área dos triângulos:

$A_{ABC}=frac{Rcdot Rcdot sen(180^circ-2alpha)}{2} ightarrow frac{R^2cdot sen(2alpha)}{2}$

$A_{ADC}=frac{Rcdot Rcdot sen(eta)}{2} ightarrow frac{R^2cdot sen(eta)}{2}$

Somando:

$A_{ABCD}=frac{R^2cdot sen(2alpha)}{2}+frac{R^2cdot sen(eta)}{2}=frac{R^2}{2}cdot (sen(2alpha)+sen(eta))$

$oxed{Resposta:Letra; A}$

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