Questão 59

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 1a fase)

A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado $l$ e que M é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo $Vhat{M}C$ é 60°, então o volume da pirâmide é:

$frac{sqrt3}{4}l^3$

$frac{sqrt3}{8}l^3$

$frac{sqrt3}{12}l^3$

$frac{sqrt3}{16}l^3$

$frac{sqrt3}{18}l^3$

Gabarito:

$frac{sqrt3}{16}l^3$

Resolução:

Assumindo que M é o ponto médio de AB, podemos fazer o seguinte:

O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. Sendo assim, precisamos encontrar o tamanho do segmento VM e altura h:

Com VM é a altura do triângulo equilátero ABV, podemos dizer que:

$VM=frac{lsqrt3}{2}$

Com isso e com a informação de que o ângulo em M é de 60°, podemos encontrar h:

$sen(60^circ)=frac{h}{frac{lsqrt3}{2}} ightarrow frac{sqrt3}{2}=frac{2h}{lsqrt3} ightarrow h=frac{3l}{4}$

Calculando a área da base do triângulo, que como são triângulos equiláteros, podemos calcular a área do triângulo ABV, já que conhecemos sua altura:

$A_{base}=frac{lcdot frac{lsqrt3}{2}}{2} ightarrow frac{l^2sqrt3}{4}$

Agora podemos encontrar o volume:

$V=frac{frac{l^2sqrt3}{4}cdotfrac{3l}{4}}{3} ightarrow frac{l^3sqrt3}{16}$

$oxed{Resposta:Letra; D}$

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