Questão 2

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 2 fase - Questão 2)

No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas 0xy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função $y = frac {sqrt 8 }{|8|}$

Nessas condições, determine

a) As coordenadas dos pontos A, B, C e D de interseção da circunferência com o gráfico da função.

b) A área do pentágono OABCD

Gabarito:

Resolução:

As coordenadas dos pontos A, B, C e D são as soluções do sistema:

$y=frac{sqrt{8}}{mid xmid }$ equação I

$x^{2}+y^{2}=9$ equação II

Substituindo a equação I em II, teremos:

$x^{2}+frac{8}{x^{2}}=9$ $Leftrightarrow x^{4}-9x^{2}+8=0Leftrightarrow x=pm 1$ ou $x=pm 2sqrt{2}$

Satisfazendo a primeira equação teremos:

$y=frac{sqrt{8}}{pm 1}=2sqrt{2}$ ou $y=frac{sqrt{8}}{mid pm 2sqrt{2}}=1$

Portanto os pontos serão: $A(2sqrt{2};1),B(1;2sqrt{2}),C(-1;2sqrt{2})$ e $D(-2sqrt{2};1)$

Área do trapézio ABCD é $frac{(4sqrt{2}+2).(2sqrt{2}-1)}{2}=7$

A área do triângulo OAD é $frac{4sqrt{2}.1}{2}=2sqrt{2}$ . Portanto a área do pentágono OABCD é $7+2sqrt{2}$ em unidades de área.

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