Questão 1

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 2 fase - Questão 1)

Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < π/2 e π/2 < y < π, satisfazendo sen y = 4/5 e 11sen x + 5cos (y-x) = 3.

Nessas condições, determine:

a) cos y

b) sen 2x

Gabarito:

Resolução:

Para $0<x<frac{pi }{2}$ , $frac{pi }{2}<y<pi$ o $seny=frac{4}{5}$ teremos:

a) $cos^{2}y=1-sen^{2}y=1-(frac{4}{5})^{2}=frac{9}{25}Rightarrow cosy=-frac{3}{5}$ pois y $epsilon$ 2º quadrante

b) $11senx+5(cosy.cosx+senysenx)=3Leftrightarrow$ $11senx+5(-frac{3}{5}cosx+frac{4}{5}senx)=3Leftrightarrow cosx=5senx-1$

Então $cos^{2}x+sen^{2}x=1 Rightarrow (5.senx-1)^{2}+sen^{2}x=1$

$13sen^{2}x-5senx=0$

$senx=frac{5}{13}$ pois $senx eq 0$ e $cosx=5.frac{5}{13}-1=frac{12}{13}$

Portanto: $sen(2x)=2senxcosx=2frac{5}{13}frac{12}{13}=frac{120}{169}$

Respostas: $a) -frac{3}{5}$ $b) -frac{120}{169}$

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